محمود حاج‌زمان: صرف ناهار با دوست یا همکار، فرصتی برای آسایش خیال است. نهایت کاری که باید انجام دهید، تصمیم‌گیری در خصوص نوع غذا و نوشیدنی است. اما برای ریک مابری و پل دیرمن، مساله به این سادگی‌ها نیست. مثلاً آنها نمی‌توانند بدون اندیشیدن درباره نحوه برش پیتزا آن را بین خود تقسیم کنند.
اما چه مساله‌ای می‌توانست این دو ریاضی‌دان را تا این حد آزار دهد؟ تصور کنید پیشخدمت عجول، پیتزا را خارج از مرکز برش بزند، اما همه برش‌ها از یک نقطه بگذرد و زاویه بین برش‌ها یکی باشد. برش خارج از مرکز به این معناست که تکه‌های پیتزا مساوی نخواهد بود. اگر دو نفر به ترتیب برش‌های کنار هم را بردارند، آیا سهم آنها مساوی خواهد بود؟ اگر غیر از این است، چه کسی پیتزای بیشتری نوش جان کرده‌است؟!
به گزارش نیوساینتیست، این مساله نیز مانند خیلی از معماهای ریاضی، چندین جواب دارد که هر کدام به حالت‌های مختلف مساله نگاه می‌کند. آسان‌ترین حالت، زمانی است که حداقل یکی از برش‌ها از مرکز پیتزا بگذرد. در این‌صورت تکه‌ها در دو طرف برش مرکزی جفت می‌شوند و بدون توجه به تعداد برش‌ها به صورت مساوی بین طرفین تقسیم می‌شوند.
اما اگر هیچ برشی از مرکز پیتزا نگذرد، جواب چیست؟
اگر پیتزا را فقط یک برش بزنیم، جواب آسان است: کسی که مرکز پیتزا را بردارد، سهم بیشتری خورده‌است.
برای دو برش نیز جواب مشابه است: کسی که تکه حاوی مرکز پیتزا را بخورد، بزرگ‌ترین تکه را برداشته‌است. اما وقتی با تعداد برش‌های بیشتری سر و کار داریم، مساله 3 جواب کلی دارد که در طی سال‌ها، قضیه پیتزا را شکل داده است.
پاسخ اول می‌گوید اگر شما یک پیتزا را از یک نقطه معین به تعداد زوج برش بزنید (بیش از 2 برش)، پیتزا به طور مساوی بین دو نفری که تکه‌ها را یکی در میان بر می‌دارند، تقسیم می‌شود.
در مورد تعداد برش‌های فرد مساله بسیار پیچیده‌تر است. قضیه پیتزا می‌گوید که اگر شما پیتزا را با 3، 7، 11، 15 و ... برش غیرمرکزی تقسیم کنید، آن‌که تکه حاوی مرکز پیتزا را برمی‌دارد، پیتزای بیشتری می‌خورد. اگر شما از 5، 9، 13، 17 و ... برش استفاده کنید، فردی که مرکز پیتزا را برمی‌دارد در نهایت پیتزای کمتری خواهد خورد.
اثبات قضیه پیتزا
اثبات دقیق مساله بسیار دشوار است، اما مابری و دیرمن به‌تازگی توانسته‌اند اثباتی برای تمام حالات ممکن به‌دست آورند.
تلاش آنها از سال 1994 / 1373آغاز شد. دیرمن حالتی از مساله را که در مجله ریاضی متمتیکس منتشر شده‌بود به مابری نشان داد. از خوانندگان خواسته شده بود که دو حالت را ثابت کنند، نخست این‌که اگر پیتزا را با 3 برش تقسیم کنیم، شخصی که مرکز پیتزا را برمی‌دارد سهم بیشتری می‌خورد. اما اگر پیتزا 5 بار برش بخورد، عکس قضیه درست است و شخصی که تکه مرکزی را بردارد، پیتزای کمتری می‌خورد.
قسمت دوم مساله با یک ستاره نشان داده شده بود که در دنیای ریاضیات به معنای مساله فوق‌العاده دشوار است. مابری به خاطر می‌آورد که به دیرمن گفته بود: «اگر بقیه نتوانسته‌اند مساله را حل کنند، من هم خودم را درگیر آن نمی‌کنم. ما به اندازه کافی احمق بودیم که حتی به آن نگاه کردیم!»
اما دیرمن به سرعت حلی ترسیمی را برای حالت 3 برش به‌دست آورد. سپس دو نفر مشغول اثبات مساله برای حالت 5 برش شدند، اگرچه بعدا گرفتاری‌های جدیدی در اثبات مساله برای حالت 7 برش پیش آمد.
با توجه به موفقیت اولیه، آنها تصور می‌کنند روشی کشف کرده‌اند که قضیه پیتزا را یک‌بار و برای همیشه اثبات می‌کند. در حالت تعداد برش‌های فرد، تکه‌های روبه‌روی هم نصیب هر کدام از طرفین می‌شود. بنابراین یک روش حل این است که اندازه دو تکه را مقایسه کند تا معلوم شود چه کسی مقدار بیشتری برداشته است. سپس به سراغ جفت بعدی می‌رویم. با ادامه این راه، اختلاف را جمع می‌زنیم و جواب به‌دست می‌آید.
علی‌رغم سادگی راه‌حل، دست‌یابی به حلی که همه حالات را در برگیرد، درعمل بسیار دشوار بود. در طی 11 سال، آن دو گهگاه به سراغ مساله برمی‌گشتند؛ اما موفقیتی کسب نمی‌کردند، تا آن‌که جرقه نهایی در سال 2006 / 1385زده شد. آنها که برای حل این مساله به برنامه‌های رایانه‌ای متوصل شده بودند، درنهایت موفق شدند با استفاده از شکل تازه‌ای از روابط جبری، این مساله را حل کنند.
کاربرد مساله چیست؟
حالا که این مساله پس از بعد از تحمل دشواری‌های فراوان اثبات شده، آیا سروکله زدن با انواع مختلف مسائل کاربردی آسان‌تر شده‌است؟ در واقع چنین به نظر نمی‌رسد. مابری اعتقاد دارد: «این موضوع جالب درباره ریاضیات است. ما اغلب به کاربرد نتایج اهمیت نمی‌دهیم چرا که نتایج به خودی خود زیبا هستند».
گاهی اوقات نیز جواب‌های مسائل ریاضی محض کاربرد خود را در جاهای غیرمتظره نشان می‌دهند. به عنوان مثال، یک مساله قرن 19 ریاضی که خم فضا پرکن (Space-Filling Curve) نامیده می‌شد، اخیرا به عنوان مدلی برای شکل ژنوم انسانی مطرح شده‌است.
مابری و دیرمن اکنون به دسته دیگری از مسائل پیتزایی می‌پردازند. مسائلی مانند این که اگر پیتزا مربعی باشد، چه اتفاقی می‌افتد؟ یا چه کسی پنیر بیشتری می‌خورد؟ با این وجود مابری می‌گوید: "این روزها من کمتر پیتزا می‌خورم!"