غزال زیاری: خیلی وقت‌ها می‌توان با استفاده از یک‌تکه نخ، علاوه بر ایجاد یک سرگرمی، معماهای پیچیده ریاضی هم خلق کرد. کافی است تا یک‌تکه نخ یا کاموای بلند بردارید؛ آن را تا کنید و گره بزنید و هر جور دلتان می‌خواهد در هم بپیچانید. درنهایت، دو سر باز نخ را به هم متصل کنید تا یک حلقه بسته به دست بیاید.
همین، یکی از هیجان‌انگیزترین اشیاء ریاضی قرن بیستم است: یک گره؛ حالا این سؤال مطرح می‌شود که کدام گره در هرکدام از دو جفت زیر را می‌توان بدون باز کردن حلقه به یک دایره ساده تبدیل کرد؟
راهنمایی حل معما: در جفت اول، گره سمت چپ کاملاً باز می‌شود و در جفت دوم، گره سمت راست این‌گونه خواهد بود.
یک چالش جدید: دو گرهٔ دیگر را می‌توان طوری مرتب کرد که به دو گره دیگرِ نشان داده شده در مقاله شبیه شوند. آیا می‌توانی این کار را انجام بدهی؟
هر گِره‌ای که امکان تبدیل‌شدن به یک دایره را داشته باشد (مثل دو گره بالا)، گره بدیهی یا unknot نامیده می‌شود؛ اما بقیه گره‌ها چطور؟ چطور می‌توان مطمئن شد که با کشیدن، چرخاندن یا جابجایی نمی‌توان آن‌ها را به دایره تبدیل کرد مگر اینکه نخ را ببُری؟ آیا راهی وجود دارد که بدانیم واقعاً آن دو گره با هم متفاوتند؟ یعنی نمی‌توان آن‌ها را جوری تغییر شکل داد که مثل هم شوند؟ این‌ها بعضی از سؤالات بنیادین در شاخه ریاضی به نام "نظریه گره" هستند.
نظریه گره چیست؟
از دوران پیشاتاریخ انسان‌ها چه برای کاربردهای عملی و چه برای زیبایی به سراغ گره‌ها می‌رفتند و گره‌های ریاضی، به‌خصوص گره‌هایی که انتها دارند، در هنرهای چینی و سلتیک قدیمی دیده می‌شوند.
طبقه‌بندی ریاضی گره‌ها از دهه ۱۸۷۰ میلادی آغاز شد. محققانی که جدول‌های اولیه طبقه‌بندی گره‌ها را ساختند، تحت تأثیر این ایده بودند که اتم‌ها، گرداب‌های گره‌خورده‌اند. آن‌ها تصور می‌کردند اگر همه گره‌های ممکن را فهرست کنند، می‌توانند جدول تناوبی عناصر را بسازند. این تلاش شیمیایی تا حدی توسط لرد کِلوین، خالق مقیاس دمایی، رهبری شد و زمانی که شیمیدانها فهمیدند که اتم‌ها واقعاً گره نیستند، ریاضیدان‌ها این ایده را ادامه دادند و شاخه کاملی از ریاضیات را پیرامون گره‌های پیچیده بنا کردند.
ریاضیدان‌ها معمولاً گره‌ها را با استفاده از نمودارهای این‌چنینی دست‌کاری می‌کنند:
نقطه‌ای که در آن یک رشته از روی رشته دیگری عبور می‌کند در نمودار گره، یک گذرگاه (crossing) نامیده می‌شود. یک گره unknot را می‌توان با هر تعداد گذرگاه رسم کرد. در اینجا Unknots ها را با ۷، ۱۱ و ۱۵ گذرگاه می‌بینید:
حالا این سوال مطرح می‌شود: کمترین تعداد گذرگاهی که می‌توانید برای ایجاد یک گره که ساده و پیش پا افتاده نباشد، استفاده کنید، چقدر است؟ آن را رسم کنید.
راهنمایی برای حل معما: می‌توانیم ببینیم که هر نمودار گره‌ای که تنها یک گذرگاه داشته باشد، درنهایت گره بدیهی (unknot) خواهد بود. اگر از یک ترسیم ساده با تنها یک گذرگاه شروع کنیم، می‌توانیم همهٔ حالت‌های ممکن برای اتصال انتهاها به یکدیگر را بدون اینکه از روی‌هم عبور کنند، بررسی کنیم. درنتیجه می‌بینیم که تمامی این حالت‌ها درواقع همان گره بدیهی یا unknot هستند. درعین‌حال با روش مشابهی می‌توان نشان داد که هیچ نمودار غیر بدیهی‌ای با تنها دو گذرگاه وجود ندارد.
اما آیا یک گره غیر بدیهی می‌تواند سه گذرگاه داشته باشد؟
بله! تنها یک گره و تصویر آینه‌ای آن چنین ویژگی‌ای دارد؛ این گره، گره سه پره (trefoil knot) نامیده می‌شود که هرگز نمی‌توان آن را به یک دایره ساده تبدیل کرد.
حرکات ریدمایستر (Reidemeister moves)
هر تغییر یا جابه‌جایی در یک نمودار گره که خود گره را به‌صورت بنیادین تغییر ندهد را می‌توان با دنباله‌ای از سه نوع حرکت انجام داد که به آن‌ها حرکات ریدمایستر گفته می‌شود. این حرکات عبارت‌اند از:
۱- پیچ دادن یا باز کردن یک رشته.
۲- لغزاندن یک رشته از روی یا زیر رشتهٔ دیگر.
۳- عبور دادن یک رشته از زیر، رو، یا میان دو رشته در یک گذرگاه.
هر ویژگی گره که هنگام انجام این حرکات تغییر نکند، گره نامتغیر (knot invariant) نامیده می‌شود. یکی از نمونه‌های سادهٔ این گره، سه‌رنگی‌پذیری (tricolorability) است. هر گره در صورتی سه رنگی پذیر نام می‌گیرد که بتوان در نمودار آن، هر بخش (arc) را طبق دو قانون زیر با یکی از سه رنگ، رنگ‌آمیزی کرد:
۱- در هر گذرگاه، هر سه بخش یا هم‌رنگ باشند، یا هر سه رنگ متفاوت داشته باشند.
۲- بیش از یک رنگ در کل نمودار استفاده شود.
به‌عنوان‌مثال گره بدیهی که به‌صورت یک دایره نمایش داده می‌شود، آشکارا سه‌رنگی‌پذیر نیست. چون تنها یک بخش دارد و بدین ترتیب قانون دوم در مورد آن صادق نخواهد بود. اما اگر نمودارهای متفاوتی از گره بدیهی رسم کنیم، آیا ممکن است برخی از آن‌ها سه‌رنگی‌پذیر باشند؟ با استفاده از حرکات ریدمایستر، می‌توان نشان داد که سه‌رنگی‌پذیری به نحوهٔ ترسیم گره وابسته نیست.
اثبات پایداری سه‌رنگی‌پذیری
برای مثال می‌توان نشان داد که حرکت ریدمایستر نوع دوم (RII) اثری بر سه‌رنگی‌پذیری ندارد. ابتدا تمام حالت‌های ممکن برای رنگ‌آمیزی بخش‌های درگیر در این حرکت را بدون توجه به نام رنگ‌ها بررسی می‌کنیم. بعد از آن نشان می‌دهیم که پس از اجرای حرکت، هنوز می‌توان بخش‌ها را طوری رنگ‌آمیزی کرد که هیچ‌یک از قوانین نقض نشود و رنگ رشته‌هایی که به بقیهٔ گره متصل‌اند، حفظ شود.
استدلال مشابهی برای حرکت نوع اول (RI) البته با حالت‌های کمتری برقرار است و برای حرکت نوع سوم (RIII) هم صادق خواهد بود (هرچند حالت‌های بیشتری دارد).
سه‌رنگی‌پذیری گره سه پره‌ای
حالا می‌خواهیم نشان دهیم که گره سه پره‌ای، سه‌رنگی‌پذیر است و با گره بدیهی هم‌ارز نیست.
در یکی از حالت‌ها، می‌توان گره سه پره‌ای را طوری رنگ‌آمیزی کرد که در هر گذرگاه، سه بخش یا هم‌رنگ باشند یا کاملاً متفاوت و هر سه رنگ دست‌کم یک‌بار به‌کاررفته باشد. در این حالت خاص، در هر گذرگاه، سه رنگ متفاوت‌اند اما همهٔ گره‌ها را نمی‌توان تنها با سه‌رنگی‌پذیری از هم متمایز کرد.
گره هشت‌تایی و سه‌رنگی‌ناپذیری آن
برای نشان دادن و اثبات اینکه گره هشت‌تایی مثل گره بدیهی سه‌رنگی‌پذیر نیست، کافی نیست که فقط یک رنگ‌آمیزی نامعتبر نشان دهیم و باید همهٔ حالت‌های ممکن بررسی شوند.
برای بررسی قبل از هر چیز، رنگ دلخواهی را برای بخش بالایی انتخاب کرده و شروع می‌کنیم؛ مثلاً بدون از دست دادن کلیت استدلال، رنگ قرمز را انتخاب می‌کنیم. در ادامه با دو حالت مواجه می‌شویم:
-
در حالت اول بخش راست هم قرمز است.
در این صورت و طبق قوانین، بخش چپ و بخش میانی هم باید قرمز باشند؛ درنتیجه کل گره فقط یک رنگ دارد، پس سه‌رنگی‌پذیر نیست.
-
در حالت ۲، بخش راست به رنگ متفاوتی مثل آبی است.
در این صورت، چون بخش‌های قرمز و آبی در گذرگاه با بخش چپ تلاقی می‌کنند، بخش چپ باید زرد باشد.
اما در گذرگاه بعدی، همین استدلال باعث تناقض می‌شود؛ چرا که نمی‌توان رنگی یافت که هر دو شرط را هم‌زمان برآورده کند.
در نتیجه هیچ رنگ‌آمیزی ممکن نیست که بتواند تابع این قوانین باشد و بنابراین گره هشت‌تایی سه‌رنگی‌پذیر نیست.
نامتغیرهای پیشرفته‌تر
برای هر گره، تنها دو گزینه وجود دارد: یا سه‌رنگی‌پذیر است یا نه. یعنی سه‌رنگی‌پذیری به هر گره مقدار "بله" یا "خیر" نسبت می‌دهد. اما نامتغیرهای پیچیده‌تر می‌توانند به هر گره عددی، چندجمله‌ای یا حتی یک شیء ریاضی، مثل گروه نسبت دهند.
مثلاً:
- عدد گذرگاه (crossing number): کمترین تعداد گذرگاهی است که گره را می‌توان با آن رسم کرد.
- عدد گره بدیهی (unknotting number) که کمترین تعداد تغییر گذرگاه‌هاست که لازم است تا گره به گره‌ای بدیهی تبدیل شود و عدد آن در گره سه پره برابر با یک است.
-
مثال‌های بیشتر
در نمودار بعدی، گره هشت‌تایی به گره پنج‌تایی متصل شده که به آن جمع پیوسته می‌گویند. تا مدت‌ها باور بر این بود که عدد گره بدیهی، جمع دو گره برابر با جمع عددهای آن‌هاست.
در این مثال، چنین است: عدد گره بدیهی گره سوم برابر است با ۱ + ۲ = ۳. هرچند که پژوهش‌های اخیر نشان داده‌اند که این قاعده همیشه درست نیست.
گره‌های اول (Prime knots)
گره‌ای که نتوان آن را به‌صورت جمع پیوستهٔ دو گرهٔ غیر بدیهی دیگر بیان کرد، گره اول (prime knot) نام دارد.
همان‌طور که اعداد اول ساختار اعداد طبیعی را تشکیل می‌دهند، گره‌های اول نیز اجزای سازندهٔ همهٔ گره‌های دیگر هستند.
گره‌های اول در جدول‌های استاندارد فهرست می‌شوند. مثلاً گره پنج‌تایی، با نماد ۵₁ نشان داده می‌شود؛ یعنی گره‌ای با پنج گذرگاه که اولین گره با این تعداد در جدول استاندارد است.
تا امروز، ریاضی‌دانان توانسته‌اند تمامی گره‌های اول تا عدد گذرگاه ۲۰ را فهرست کنند. برای مقیاس درک موضوع: تعداد گره‌های اولی با عدد گذرگاه ۲۰ برابر است با ۱.۸۴۷.۳۱۹.۴۲۸ (آن‌هم بدون در نظر گرفتن تصاویر آینه‌ای.)
از گره‌ها تا پیوندها
ریاضیات نظریهٔ گره را می‌توان برای مطالعهٔ پیوندها (links) که به معنای ساختارهایی شامل چند حلقهٔ درهم‌تنیده هستند هم به کار برد. یکی از پیوندهای معروف، حلقه‌های بورومئان (Borromean rings) است:
سه حلقه که همگی به هم متصل‌اند، ولی هیچ دو تای آن‌ها به‌تنهایی درهم قفل نیستند و اگر یکی از حلقه‌ها را حذف کنیم، دو تای دیگر آزاد می‌شوند.
سؤال: آیا می‌توان پیوندی چهار جزئی با همین ویژگی ساخت؟ یعنی هیچ‌کدام از چهار حلقه جدا نباشند، ولی با برداشتن یکی، بقیه از هم جدا شوند.
پاسخ این سؤال مثبت است: این ساختار پیوند برونیان چهار جزئی (four-component Brunnian link) نام دارد که می‌توان آن را به شکل‌های مختلفی رسم کرد؛ هر الگویی که در آن همهٔ اجزا به هم متصل باشند و با حذف هرکدام از اجزا بقیه آزاد شوند، پاسخ درستی برای این سؤال خواهد بود.
فراتر از سه بعد
گرچه حرکت از سمت گره‌ها به سمت پیوندها گام کوچکی است، اما ریاضی‌دانان از همین ایده‌ها برای بررسی مفاهیم عمیق‌تری مثل گره‌های چندبعدی، سطوحی با لبه‌های گره‌خورده و حتی اشیائی که از فضای سه‌بعدی با حذف یک گره به دست می‌آیند استفاده می‌کنند.
با وجودی که شیمیدانها دیگر از نظریهٔ گره برای توصیف اتم‌ها استفاده نمی‌کنند، اما همین نظریه حالا در بررسی ساختار مولکول‌ها، سنتز مواد جدید، تحلیل گره‌خوردگی پروتئین‌ها و توسعهٔ فناوری‌های ویرایش ژن کاربرد دارد. این‌ها نشان می‌دهند که ریاضیات و علوم تجربی دست در دست هم، ما را در درک بهتر سازوکار جهان یاری می‌دهند.
منبع: scientificamerican
۲۲۷۲۲۷