چطور می‌شود یک انتخابات آزاد و منصفانه برگزار کرد؟ ریاضی‌دانان پاسخ می‌دهند

فریبا فرهادیان: در یک دنیای ایده‌آل انتخابات باید دو شرط داشته باشد: آزاد باشد و بی طرف. در دنیای ایده‌آل، هر انسانی باید بتواند به نامزد منتخبش رای دهد و اطمینان داشته باشد که رای وی با رای هر شخص دیگری ارزش برابری دارد. تضمین یک انتخابات آزاد وظیفه قانون است، اما شرط دیگر که بی طرفی و انصاف انتخابات است، بیشتر از این که وظیفه قانون باشد وظیفه ریاضی‌دانان است.

گشتم نبود، نگرد نیست
به گزارش نیوساینتیست، ریاضیدانان مدت‌ها است که سیستم‌های رای‌گیری سالیان گذشته را مرور می‌کنند تا بتوانند یک سیستم رای‌گیری عاری از تعصبات و جانبداری‌ها را پیدا کنند. چنین سیستمی ارزش فراوانی دارد و حق را به حق‌دار خواهد رساند، اما شاید درنهایت به این جواب برسند که چنین سیستمی اصلا وجود نداشته و نخواهد داشت.

امروزه سیستم‌های مختلفی از انتخابات دموکراتیک در سراسر جهان به اجرا درمی‌آیند و تمام سعی خود را می‌کنند تا تعادلی را بین انصاف از نظر ریاضیات و دولتی مقتدر و استوار و جوابگو از نظر سیاسی برقرار کنند.

یکی از سیستم‌هایی که قرار است در انتخابات آینده انگلیس هم از آن استفاده شود، سیستم رای‌گیری ائتلافی است. اساس این سیستم بسیار ساده است: هر شاخه انتخاباتی، نماینده‌ای با بیشترین رای کسب‌شده را برمی‌گزیند. کشورهایی مثل آمریکا، کانادا، هند و انگلیس از این سیستم رای‌گیری استفاده می‌کنند.

در این سیستم نیازی نیست که برنده حتما حائز اکثریت آرا شده باشد، بلکه برنده کسی است که بیشترین رای را از آن خود کرده است. به این ترتیب مشاهده می‌کنید که سیستم مذکور فاقد اصل انصاف ریاضیاتی است. حتی اگر یک کشور یا شهر را نیز به قطعاتی تقسیم کنند، باز هم انحراف رخ خواهد داد. در این شرایط حزبی برنده می‌شود که به صورت مرزی در بیشتر بخش‌های انتخاباتی از رقبایش جلوتر باشد.

انتخابات عمومی سال 2005 / 1384 انگلستان نمونه بارزی از این بی‌عدالتی بود که در آن، حزب کارگر توانست با 35 درصد از کل آرا، 55 درصد از کرسی‌ها را از آن خود کند. انتخاب شدن جورج دبیلیو بوش با تفاوت بسیار اندکی در برابر ال گور در سال 2000 / 1379 نیز نمونه دیگری از انحرافات این سیستم رای‌گیری است.

دانلد ساری، ریاضیدان دانشگاه کالیفرنیا، با مثالی جالب توانسته است عمق فاجعه را نشان دهد: فرض کنید از 15 نفر خواسته شود تمایل خود به مصرف شیر (الف)، آب‌پرتقال (ب) و یا آب‌لیمو(ج) را نشان دهند. 6 نفر آنها به صورت الف-ج-ب، 5 نفر به صورت ب-ج-الف و 4 نفر هم به صورت ج-ب-الف انتخاب خود را انجام می‌دهند. اگر قرار باشد از سیستم ائتلافی استفاده شود، فقط باید انتخاب‌های اول را شمارش کرد و نتیجه با کسب 40 درصد به نفع شیر و به دنبال آن آب‌پرتقال و بعد آب‌لیمو خواهد بود.

اما آیا رای‌دهندگان واقعا شیر را بر آب‌میوه ترجیح داده بودند؟ جواب منفی است، چون 9 نفر آن‌ها آب پرتقال را به شیر و 9 نفر هم آب‌لیمو را به شیر ترجیح می‌دهند که اکثریت افراد شرکت‌کننده در هر مورد است. ضمن آن‌که 10 نفر هم آب‌لیمو را به آب‌پرتقال ترجیح داده‌اند و بنابراین، بهترین ترتیب به صورت ج-ب-الف است؛ نتیجه‌ای که دقیقا با نتیجه حاصل از سیستم انتخاباتی مغایر است.

درواقع ساری با این کار خود نشان داد که شما می‌توانید سیستمی طراحی کنید که نتیجه دلخواه شما را تولید کند!

وقتی رقیب سوم برنده می‌شود!
در مثال بالا یک سیستم ساده ائتلافی نتیجه‌ای غیرعادی و متناقض تولید کرد؛ زیرا کسانی که آب‌میوه را بر شیر ترجیح داده بودند، هرکدام دیگری را به عنوان انتخاب بعدی خود معرفی کرده و باعث شده بودند شیر برنده نهایی شود.

همین اتفاق در انتخابات سیاسی هم رخ می‌دهد به این ترتیب که 2 حزب از یک دسته افراد مشابه طلب حمایت می‌کنند و باعث شکسته شدن آرای آن‌ها بین خود و برنده شدن حزب سومی می‌شوند که هیچ محبوبیتی نداشته است.

اما چگونه می‌توان جلوی این اتفاق را گرفت و درعین حال از مزیت‌های این سیستم هم بهره‌مند شد؟ تا حدی می‌توان این کار را انجام داد. یک راهکار مناسب می‌تواند برگزاری انتخابات دور دوم بین دو نماینده‌ای باشد که بالاترین رتبه را کسب کرده‌اند. این موضوع در فرانسه و بسیاری دیگر از کشورها برای انتخابات ریاست‌جمهوری مصداق دارد. اما باید گفت که باز هم هیچ تضمینی نیست که دو کاندیدایی که بالاترین حمایت رای‌دهندگان را دارند، به دور دوم راه یابند.

در انتخابات سال 2002 / 1381 فرانسه بسیاری از نمایندگان جناح چپ در دور اول حضور داشتند، اما نام آن‌ها حذف شد و در دور دوم 2 نماینده که هر دو مربوط به جناح راست بودند، یعنی ژاک شیراک و ژان ماری لوپن به عنوان رقیب به دور دوم راه یافتند.

همه برنده‌اند
یک استراتژی دیگر هم در این سیستم قابل اجراست تا بتوان از معایب آن جلوگیری به عمل آورد. در این راهکار به کاندیداها به ترتیب اولویت شماره‌های 1و2و3و... داده می‌شود. پس از انتخاب اولویت‌های اول، آرا شمارش می‌شوند؛ کاندیدایی که کمترین رای را آورده، حذف و آرا بین انتخاب‌های بعدی تقسیم می‌شوند. این روال ادامه پیدا می‌کند تا در نهایت یک کاندیدا 50 درصد آرا را از آن خود کند. این سیستم که امتیازی یا متناوب نام دارد، در کشورهایی مثل استرالیا و چندین شهر آمریکا استفاده می‌شود. گرچه این راه نسبت به سیستم ائتلافی به انصاف نزدیک‌تر است، اما باز هم ضدونقیض‌هایی دارد.

کسی که توانست این ضدونقیض‌ها را کشف کند، یک ریاضیدان فرانسوی با نام مارکوس دو کوندورست بود که سال 1785 به این موضوع پی برد. تصور کنید 3 کاندیدا با نام‌های الف و ب و ج داریم و 3 رای‌دهنده که انتخاب‌های آن‌ها به ترتیب الف-ب-ج، ب-ج الف و ج-الف- ب است. رای دهندگان الف را بر ب به نسبت 2 به 1 ترجیح داده‌اند؛ اما ب به ج و ج به الف هم به همان نسبت 2 به یک ترجیح داده شده‌اند؛ پس به قول دودو در فیلم آلیس در سرزمین عجایب: «همه برنده‌اند و همه باید جایزه بگیرند».

همه چیز به نسبت
یکی از راهکارهایی که برای جلوگیری از تناقض‌های سیستم ائتلافی استفاده می‌شود، سیستم رای‌گیری تناسبی است. در این سیستم هر حزب به نسبت مستقیم آرایی که کسب کرده، حائز کرسی‌های پارلمان می‌شود. بی شک چنین سیستمی از دید علم ریاضیات منصفانه‌تر از دوشیوه قبلی است، اما یک ایراد سیاسی دارد. این روش به چندین حوزه انتخاباتی نیازمند است که هرچه تعداد آن‌ها بیشتر باشد، حلقه ارتباطی بین رای‌دهندگان با نمایندگانشان ضعیف‌تر خواهد شد. از همه مهم‌تر این‌که در این سیستم بیشتر شاهد ائتلاف بین احزاب هستیم که این خود منجر به تشکیل یک دولت ناپایدار و بی‌اثر می‌شود.

این سیستم هم بدی‌های ریاضیاتی خاص خود را دارد؛ مثلا این که هیچ راهی نیست که بتوان تعداد کامل کرسی‌ها را در نسبت دقیق به یک جمعیت زیادتر اختصاص داد. این امر موقعیتی عجیب و غریب به وجود می‌آورد که در آن، افزایش مجموع کرسی‌های موجود، تعداد نمایندگان یک حوزه انتخاباتی را حتی اگر جمعیت آن یکسان باقی مانده باشد، کاهش می‌دهد.

مرزها مهمند
در سیستم ائتلافی مرزها خیلی مهمند. برای اطمینان از این که هر رایی دقیقا با رای دیگری ارزش یکسانی دارد، باید تعداد رای‌دهندگان تمامی حوزه‌ها با هم یکسان باشد. تصور کنید یک شهر با 900هزار نفر رای دهنده در کنترل جمهوری‌خواهان لیبرال باشد و به 3 حوزه انتخابیه تقسیم شده باشد. آرا نشان می‌دهند که در انتخابات بعدی، جمهوری‌خواهان لیبرال شکست می‌خورند، 400هزار نفر به آن‌ها رای می‌دهند، اما 500هزار نفر محافظه‌کاران دموکرات را برمی‌گزینند. اگر مرزها بتوانند نسبت‌ها را مشابه حفظ کنند؛ هر حوزه باید دارای 130هزار رای‌دهنده لیبرال و 170هزار دموکرات باشد و دموکرات‌ها باید هر 3 کرسی را از آن خود کنند که یک بی‌انصافی رایج در سیستم ائتلافی است.

جالب است بدانید که لیبرال‌ها هم به راحتی می‌توانند مرزبندی را به نفع خود انجام دهند و نتیجه را برعکس کنند.

تناقض در سیستم تناسبی
در سال 1880 مشخص شد که آلاباما در آمریکا باید 8 کرسی از 299 کرسی مجلس را داشته باشد؛ درحال که فقط 7 کرسی از 300 کرسی به آن اختصاص داده شده بود. تناقض آلاباما ناشی از یک الگوریتم با نام «روش بزرگ‌ترین باقیمانده» است که در آن، تعداد کرسی‌های هر ایالت به تناسب تعداد کل گرد می‌شود.

برای سادگی این‌طور تصور کنید که کشوری با 39 میلیون رای‌دهنده دارای پارلمانی با 4 کرسی است؛ پس به هر کرسی 9.75 میلیون رای دهنده می‌رسد. این کرسی‌ها با این وجود باید بین 3 ایالت آلاباسکا، بلورادو و کاروفورنیا با جمعیت رای‌دهنده‌ای مساوی 21، 13 و 5 میلیون نفر تقسیم شوند. با تقسیم کردن این اعداد به سهمیه هر ایالت نسبت منصفانه‌ای از کرسی‌ها برای هر ایالت مشخص می‌شود. اعداد به صورت کاهشی گرد می‌شوند و تعدادکرسی هر ایالت مشخص می‌شود و در نهایت، هر تعداد کرسی که باقی بماند، به ایالتی تعلق می‌گیرد که بیشترین باقیمانده را دارد.

در این مثال به هر ایالت 3 کرسی می‌رسد و چهارمین کرسی به کاروفورنیا که بالاترین باقیمانده را داشته، تعلق می‌گیرد.

حال اگر تعداد کرسی‌ها از 4 به 5 افزایش یابد سهمیه 39 میلیون به 5 تقسیم می‌شود و عدد 7.8 به دست آمده و جدول به این صورت تغییر خواهد کرد:

نکته جالب این جاست که در این حالت آلاباسکا و بلورادو هرکدام یک کرسی اضافی دریافت کردند، اما کاروفورنیا تنها کرسی خود را از دست داد و این درحالی است که طبق قانون هر ایالتی باید حداقل یک نماینده داشته باشد؛ پس باید اندازه پارلمان را به اندازه یک کرسی افزایش داد.

شرایطی که باعث بروز این تناقض می‌شوند، از نظر ریاضیاتی بسیار پیچیده است. برای رفع این مشکل نیز امروزه از روشی به نام «روش مقسوم علیهی» استفاده می‌شود که در آن، جمعیت رای‌دهنده را بر یک عدد ثابت تقسیم می‌کنند؛ بنابراین گردکردن عددها باعث می‌شود تعداد به اندازه کل کرسی‌ها برسد و کم و زیادی درکار نباشد. البته این روش هم محفوظ از خطا نیست.

قدرت در تعادل است
انتقادی که به سیستم تناسبی و نیز ائتلافی وارد شده، این است که احتمال این که یک حزب اکثریت کرسی‌ها را از آن خود کند خیلی کم است. در این صورت تکلیف قدرت چه می‌شود؟ شاید شاخص بَنژاف بتواند پاسخ این سوال را بدهد. برای این کار ابتدا باید فهرستی از تمام ترکیبات احتمالی حزب‌هایی را که می‌توانند ائتلاف اکثریت تشکیل دهند، تهیه کنید و سپس در تمام آن‌ها حساب کنید چند حالت وجود دارد که حذف شدن یک حزب بر اکثریت تاثیر می‌گذارد. تقسیم کردن این عدد بر کل تعداد حزب‌هایی که در تمام ائتلاف‌های احتمالی چنین شرایطی را دارند، به شما شاخص قدرت حزب را می‌دهد. البته محاسبه این شاخص در شرایط واقعی کاری نسبتا پیچیده است.

نخست وزیر آینده انگلیس کیست؟
راب جنکینس و تونی مک‌کارتی از دانشگاه گلاسکو و ریچارد وایزمن از دانشگاه هرتفوردشایر در سایت نیوساینتیست، نتیجه انتخابات عمومی انگلیس را پیش‌بینی کرده‌اند. به گفته آن‌ها نتایج به قرار زیر خواهد بود:
محافظه‌کاران 290
کارگر 247
لیبرال دموکرات 70
اما آیا حق با آن‌هاست؟ کافی است چند روز صبر کنیم تا پاسخ این سوال را بفهمیم!